第33章 数学的优雅（1）（2/2）

像这样的题目第一问几乎完全没有难度，只要基础知识过关，分数是必得的。

难的是第二问。

这道题第二问难度还好，就陈航就能想到有多种做法。

第一种做法，蛮力破拆。

经典的设方程、联立、韦达定理、代入条件公式计算。也就是设出直线AP的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理得出x1+x2。然后利用勾股定理丨BQ丨2+丨AQ丨2=丨AB丨2，结合弦长公式计算丨AP丨=丨x1-x2丨·√（1+k）2、点到直线的距离公式计算丨BQ丨、丨PQ丨=丨AQ丨-丨AP丨即可得到丨PA丨·丨PQ丨=（1-k2）·（1+k）2，结合k∈(-1，1)求导即可计算得出最大值。

第二种做法，相关点法。

既然点A坐标已知，可以把相关点的坐标都求出来。设出直线AP的方程，同样的联立同样的韦达定理得出x1+x2=k，而其中的一个点A坐标就是一个解，如此如果设点A（x1，y1），P（x2，y2），Q（x3，y3），那么x2=k+1/2，利用直线AP的方程计算出y2，即可用k表示P的坐标。而Q可以用直线AP表示为（x3，k（x3+1/2）+1/4），利用AQ⊥BQ，那么利用向量AQ与向量BQ为0进行计算，最后也能算出k表示Q的坐标。最后利用两点间距离公式得出丨PA丨和丨PQ丨，然后计算，之后步骤同解法一。

第三种做法，参数方程法

根据抛物线的参数方程，可以设P（t，t2）（t∈（-1/2，3/2）），Q（x3，y3）。如此两点间距离公式得丨AP丨=（t+1/2）√（t2-t+5/4），接下来就是利用AQ⊥BQ，AP与AQ共线，那么用向量的方式表示，利用斜率公式列出方程组。最终能计算出点Q的横坐标x3，进一步即可求出丨PQ丨，最后可以计算出丨PA丨·丨PQ丨=1/16·（-16t?+24t2+16t+3），依旧是求导计算单调性和最值即可。

第四种做法，几何视角的圆方程辅助求解

既然∠AQB=90°，那么点Q一定在以AB为直径的圆上。以AB为直径的圆E：（x-1/2）2+（y-5/4）2=2，由直线AP方程联立圆E，即可解得Q的坐标，也是k表示。根据圆幂定理或者弦长几何关系，可以求出P点坐标，从而得出丨PQ丨，最后计算与第一种做法和第二种做法得到一样的方程，后续步骤也一样。

第五种做法，一些小知识的运用，向量数量积的几何意义。

因为丨PQ丨是向量PB在向量PQ上的投影，所以丨PA丨·丨PQ丨=-向量PA·向量PQ=-向量PA·向量PB，然后依旧是参数方程的设法设P（t，t2）（t∈（-1/2，3/2）），再用两点间距离公式得到关于t的四次方程，依旧是求导计算单调性即可。

第六种做法，在第五种做法的基础上，继续化简，一般称为计划恒等式。同样是用投影来到最后的那一步丨PA丨·丨PQ丨=丨-向量PA·向量PB丨，此时去AB中点为M，由极化恒等式可得向量PA·向量PB=向量PM2-向量BM2，由此A，B为定点，向量BM模长就是定下来的，那么只需要计算向量PM的模长最小值，也就是P到M的最小距离，即可得到丨PA丨·丨PQ丨的最大值。这就转化成了求抛物线上一点到定点的距离最值问题。设圆M与抛物线相切，联立方程，判别式等于0，或者直接用几何法求法线。最终能直接计算得出结果。

六种做法，从代数硬算到几何巧解，再到向量与极化恒等式的降维打击。这就是数学的魅力，也是陈航建立的体系的力量，能够把知识关联起来，让陈航做题的时候武器库丰沛，总能找到多种做法，并找出最优雅的那条路径，于复杂中看清本质。

普通学生看到的是题目，他看到的是结构。

普通学生在迷宫里找路，他在空中俯瞰迷宫。

从解三角形刷到函数，从解析几何刷到立体几何，从不等式刷到组合数学，从导数刷到新定义……