第118章：清华日常（1/2）

林深又举手。张老师看了他一眼。“你来。”

林深站起来。“对于任意ε＞0，取N=1

ε。当，n＞N时，假设≥n，则|1

-1

|≤1

＜ε。所以数列满足柯西条件，因此收敛。”

张老师点点头。“很好。但这个证明有一个问题。”他看着林深，“你用了≥n的假设，但柯西准则要求所有，n，不需要大小关系。你的证明完整吗？”

林深想了想。“不完整。应该分情况讨论。或者直接用1

+1

＜2

。”

张老师笑了一下。“对。分情况讨论，或者用对称性。细节很重要。”

他转过身，继续往下讲。林深坐下，在笔记本上把那道题重新写了一遍，把分情况讨论的步骤补上。旁边的男生侧过头看了一眼他的笔记，又转回去了。

第二节课是高等代数。李老师讲线性空间的定义。

“一个非空集合V，如果定义了加法和数乘两种运算，并且满足八条公理，就称为线性空间。”李老师把八条公理一条一条写在黑板上。加法交换律、结合律、零元存在、负元存在、数乘分配律……

林深听着，脑子里想的是矩阵空间的例子。李老师讲到数乘分配律的时候，举了个例子。

“设V是全体实数的集合，定义加法为普通加法，数乘为λ⊙x=λ2x。问V是不是实数域上的线性空间？”

和(λμ)⊙x不相等，第一条分配律就不满足。李老师等了一会儿，目光扫过教室。

“林深，你说说。”

林深站起来。“不是。因为数乘不满足结合律。λ⊙(μ⊙x)=λ2(μ2x)=λ2μ2x，而(λμ)⊙x=(λμ)2x=λ2μ2x。这个成立，所以数乘结合律没问题。问题是分配律。λ⊙(x+y)=λ2(x+y)，λ⊙x+λ⊙y=λ2x+λ2y，这个成立。但(λ+μ)⊙x=(λ+μ)2x=λ2x+2λμx+μ2x，而λ⊙x+μ⊙x=λ2x+μ2x。两者相差2λμx，所以不是线性空间。”

李老师听完，没点评，转过身在黑板上把刚才那个例子擦掉。“所以不是随便定义运算就能构成线性空间。八条公理，缺一条都不行。”

下课铃响了。李老师收起讲义，走出教室。林深把笔记本合上，站起来往外走。走廊里人多，有人赶着去下一节课，有人站在窗边聊天。他穿过人群，下楼，往数学系老楼走。

杨小京的办公室在三楼。林深敲门的时候，里面传出一声“进”。他推开门，杨小京坐在办公桌后面，面前摊着一本英文期刊，手里拿着红笔。

“来了？”杨小京抬起头。

林深在他对面坐下。“杨老师，上周您让我看的那篇论文，看完了。”

杨小京把期刊合上。“有什么想法？”

林深从书包里抽出几张纸，递过去。“他那个证明思路有点绕。我试着用傅里叶变换重新推了一遍，感觉更直接。”

杨小京接过来，一页一页翻。办公室很安静，只有翻纸的声音。

林深坐在对面，没说话。窗外有鸟叫，楼下有人在说话，声音模模糊糊的。

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