第46章 复习计划从今晚开始（2/2）
我在图上点了个P，又点了个Q。
“先用中点弦公式。”
她抬眼。
“期中考试能用？”
“能推，不直接引用。”
我在纸上写下椭圆方程。
“设PQ中点M为（u，v）。直线PQ的斜率是k。椭圆x2/4+y2=1，对称性比较好。中点弦所在直线的斜率和中点坐标有关系。”
我写：
对于椭圆 x2/a2 + y2/b2 = 1，过点M(u,v)的弦斜率k满足 k = - b2u / a2v。
这里a2=4，b2=1。
所以 k = - u / 4v。
林晚星看着式子。
“如果v等于0呢？”
“单独讨论。v=0时中点在x轴上，对应弦竖直或者特殊情况。题目问范围，先看一般情况，再补边界。”
她点头。
“继续。”
“题目说M始终落在x+2y=上，其实是让我们研究椭圆内哪些中点能形成弦。弦的中点必须在椭圆内部。”
我在椭圆里面画了一片区域。
“所有弦的中点M都在椭圆内部。反过来，椭圆内部任一点都可以作为某条弦的中点。”
林晚星皱了下眉。
“这句话要证明。”
“可以用过M作任意方向直线，和椭圆交两点。只要M在椭圆内，总能找到弦。严格写的话，加一句由椭圆凸性可知。”
“考试写凸性，老师会不会嫌？”
“那就用代数。设过M的直线代入椭圆，二次方程有两根，M作为中点对应根的平均值。判别式大于零时成立。”
“你还是写凸性吧。”
“你看，也嫌麻烦。”
她低头笑了一下。
我继续写。
“所以的取值，就是直线x+2y在椭圆内部点上的范围。也就是求x+2y在椭圆上的最大最小值。”
“可以。x2/4+y2=1，设x=2sθ，y=sθ。”
我写：
x+2y = 2sθ + 2sθ = 2√2 s(θ+π/4)
所以∈(-2√2，2√2)，如果包括边界，要看题里‘中点落在直线’且有弦，边界在椭圆上，只能退化成点，PQ不存在，所以取开区间。
林晚星盯着那行开区间。
“这一步很容易漏。”
“嗯。命题人就喜欢这个。”
“你语气像被命题人伤过。”
“正常高中生都被伤过。”
她把草稿纸往自己那边拉了一点。
“那第二问呢？”
“|PQ|最大。”
我看着图。
“弦长最大，直觉上应该过椭圆中心，最长是长轴4。可M要落在x+2y=上，是变量。题目没有给固定，所以全局最大就是长轴。”
林晚星看我。
“如果这么简单，后面问斜率就没意义了。”
“有意义。提醒你别被第一问带偏。”
我在纸上补：
当PQ为长轴时，直线y=0，斜率k=0，|PQ|=4。
“不过要写清楚，椭圆内任意弦长不超过长轴。最大值在过中心且沿长轴方向取得。”
她看着我写完，没说话。
我以为她在检查逻辑。
过了几秒，她说：
“沈知野。”
“嗯？”
“你以前为什么不好好考？”
这个问题来得很直接。
我低头看草稿纸。
上面一堆式子和图。
这张纸比我的脸安全。
“也不是不好好考。”
“年级二十名左右，和你刚才这个思路，不太匹配。”
“可能我考试发挥一般。”
“你觉得我会信吗？”
“概率不高。”
她没催我。
客厅里很安静。
厨房方向传来一点水声。
林阿姨应该在洗杯子。
我转了转笔。
“以前没什么想认真。”
这句话说出来后，我自己都觉得太轻。
可它基本准确。
没有特别想去的学校。
没有非赢不可的人。
也没有必须证明给谁看的东西。
只要成绩过得去，不让沈明远操心，就够了。
再多一点，麻烦。
林晚星听完，没有立刻说话。
她低头看那张草稿。
“现在呢？”
我手里的笔停了。
现在？
现在黑板上有期中倒计时。
周予白还站在年级第一的位置。
林晚星被人围着看，又自己把所有压力挡回去。
父母在厨房里低声说，希望我们别觉得自己不配，也别觉得自己不值得。
还有那晚烟花下，我慢了三秒。
这些东西混在一起，很难用一句话解释。
我说：“现在想试试。”
“试什么？”
“认真一点能考到哪儿。”
她看着我。
眼睛很黑。
“挺好。”
她说。
“那我也认真一点。”
“你一直很认真。”
“还可以更认真。”
这句话听起来有点危险。
学霸的更认真，通常会让普通人害怕。
我看了一眼时间。
九点三十七。
已经过了计划里的节点。
“林老师，时间超了。”
她看向计时器。
“今天特殊。”
“计划第一天就破例？”
“嗯。”
“你这个班主任不太严格。”
“对你。”
她说完，第二次停住。
我也停住。
这句又出现了。
也许她自己没意识到。
也许意识到了，仍然没收回。
她把视线移开。
“整理错题。”
“我这题没错。”
“那整理思路。”
“好。”
我们一起低头写字。
餐桌下，我的膝盖不小心碰到她的椅脚。
很轻一声。
她没动。
我也没动。
过了几秒，她把椅子往旁边挪了一点点。
距离恢复安全。
可那几秒已经发生过了。
九点五十，厨房那边传来很小的说话声。
我抬头。
厨房门开着一条缝。
我爸探出半个头。
大概本来想出来拿水。
看见我们还坐在餐桌两侧，他停了一下。
林阿姨在他后面，小声说：“别打扰。”
我爸压低声音：“我就拿个水。”
“杯子在里面。”
“哦。”
门又关上。
我和林晚星对视了一眼。
她先低头。
“你爸听力不太好。”
“这和听力没关系。”
“那是行动力。”
“也不太好。”
她没忍住，笑了一下。
很短。
我也笑了。
这十几秒里，烟花那晚留下的僵硬，好像往后退了一点。
不多。
可够今晚用。
十点整，林晚星合上书。
“收桌。”
“遵命。”
“别贫。”
我们把书分开。
她收英语，我收数学。
我伸手拿手机时，她也刚好伸手。
两只手在小篮子上方碰了一下。
这次比荧光笔那次更明显。
我停住。
她也停住。
手指挨着手指。
很短。
然后她先拿走自己的手机。
“你先。”她说。
“你已经拿了。”
“嗯。”
她把手机塞进口袋，转身去厨房倒水。
我看着她背影。
她走得比平时快一点。
我低头拿起自己的手机。
屏幕亮了。
江辞发来三条消息。
“复习了吗兄弟？”
“别告诉我你和林晚星在客厅共同进步。”
“你不回就是默认。”
我回：
“闭嘴。”
他秒回：
“默认了。”
我把手机扣上。
客厅桌角，那张复习计划还贴着。
时间表
“明天继续。”
我看着那四个字。
忽然觉得期中考试也没那么讨厌。
当然。
只有一点点。